数据结构与算法之美

03 | 复杂度分析(上):如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗?

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数据结构与算法-王争

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学习内容 :

03丨复杂度分析(上):如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗?

执行效率:时间、空间复杂度分析;

复杂度分析是整个算法学习的精髓,只要掌握了它,数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。

事后统计法:测试结果非常依赖测试环境;测试结果受数据规模的影响很大;

所以我们需要不依赖测试数据来测试,就可以粗略的来估计算法的执行效率(最好&&最坏的情况)。

大 O 复杂度表示法

代码执行:读数据 -> 运算 -> 写数据

所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 f(n) 成正比:

T(n) = O(f(n))

T(n):代码执行的时间;

n:数据规模的大小;

f(n):每行代码执行的次数总和;

因为这是一个公式,所以用 f(n) 来表示。公式中的 O,表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

剔除常数的运算

这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间,而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势,所以,也叫作渐进时间复杂度(asymptotic time complexity),简称时间复杂度。

时间复杂度分析

  1. 只关注循环执行次数最多的一段代码;
  2. 加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度;
  3. 乘法法则:嵌套函数的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积;

几种常见时间复杂度实例分析

  • 常量阶: O(1)
  • 对数阶:O(log n)
  • 线性阶:O(n)
  • 线性对数阶:O(n log n)
  • 平方阶:O(n^2^)、O(n^3^)、….O(n^k^)
  • 指数阶:O(2^n^)
  • 阶乘阶:O(n!)

多项式量级 && 非多项式量级(只有O(2^2^) 和 O(n!))

把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作 NP(Non-Deterministic Polynomial,非确定多项式)问题。

效率太低了

O(1)

O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法,并不是指只执行了一行代码。

一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是Ο(1)。

代码执行次数为常量;

O(log n)、O(n log n)

不管是以 2 为底、以 3 为底,还是以 10 为底,我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。

对数之间是可以互相转换的,log3n 就等于 log32 * log2n,所以 O(log3n) = O(C * log2n),其中 C=log32 是一个常量。基于我们前面的一个理论:在采用大 O 标记复杂度的时候,可以忽略系数,即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以,O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此,在对数阶时间复杂度的表示方法里,我们忽略对数的“底”,统一表示为 O(logn)。

如果一段代码的时间复杂度是 O(logn),我们循环执行 n 遍,时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且,O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如,归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

O(m + n)、O(m * n)

代码的复杂度由两个数据的规模来决定。

m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大,所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。所以,上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

嵌套循环: O(m * n)

空间复杂度分析

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度,表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下,空间复杂度全称就是渐进空间复杂度(asymptotic space complexity),表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

常见的空间复杂度就是O(1)、 O(2)、 O(n^2^)

越高阶复杂度的算法,执行效率越低。常见的复杂度并不多,从低阶到高阶有:O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2^ )。

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